1)      Giả sử n là các số nguyên dương thỏa mãn đ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1)     Chứng minh $7{n^2} + 6n + 2017 \equiv 2\,\,(\bmod 3)$

 Nhóm các số hạng thích hợp để sử dụng hằng đẳng thức, tách 2017 thành tổng hai bình phương.

Giải chi tiết:

1)      Nếu n chia 3 dư 1, đặt $n = 3k + 1 \Rightarrow {n^2} = {\left( {3k + 1} \right)^2} = 9{k^2} + 6k + 1$ thì ta có ngay ${n^2}$ chia 3 dư 1.

$\Rightarrow 7{n^2} + 6n + 2017 \equiv 2\,\,(\bmod 3)$

Một số chính phương bất kì thì không thể chia 3 dư 2.

Do đó ta có điều phải chứng minh.

2)      Ta có ngay:

$\eqalign{  & 2{x^2} + 4{y^2} - 4xy + 2x + 1 = 2017  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 2017  \cr   &  \Leftrightarrow {(x - 2y)^2} + {(x + 1)^2} = 2017 = {9^2} + {44^2}  \cr   &  \Rightarrow \left[ \matrix{  \left\{ \matrix{  \left| {x + 1} \right| = 9 \cr   \left| {x - 2y} \right| = 44  \cr}  \right.  \cr   \left\{ \matrix{  \left| {x + 1} \right| = 44  \cr   \left| {x - 2y} \right| = 9  \cr}  \right.  \cr}  \right. \cr}$

Với TH1 ta có

Nếu x = 8 thì: $\left| {8 - 2y} \right| = 44 \Rightarrow \left[ \matrix{  y =  - 18  \cr   y = 26  \cr}  \right..$

Nếu $x =  - 10$ thì: $\left| { - 10 - 2y} \right| = 44 \Rightarrow \left[ \matrix{  y =  - 27  \cr   y = 17  \cr}  \right..$

Với TH2 ta có:

Nếu x = 43 thì: $\left| {43 - 2y} \right| = 9 \Rightarrow \left[ \matrix{  y = 17  \cr   y = 26  \cr}  \right..$

Nếu $x =  - 45$ thì: $\left| { - 45 - 2y} \right| = 9 \Rightarrow \left[ \matrix{  y =  - 27  \cr   y =  - 18  \cr}  \right..$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là: (8; -18); (8; 26); (-10; -27); (-10; 17); (43; 17); (43; 26); (-45; -27); (-45; -18).