Cho 3 số thực dương  x, y, z thỏa mãn: \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có : \(P=\frac{1}{x\left( \frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{\text{z}}^{2}}} \right)}+\frac{1}{y\left( \frac{1}{{{\text{z}}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}+\frac{1}{z\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)}.\)

Đặt : \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}.\) Ta có ngay  \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3.\)

\(\begin{align}  & P=\frac{a}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{a}{3-{{a}^{2}}}+\frac{b}{3-{{b}^{2}}}+\frac{c}{3-{{c}^{2}}} \\  & =\frac{{{a}^{4}}}{3{{a}^{3}}-{{a}^{5}}}+\frac{{{b}^{4}}}{3{{b}^{3}}-{{b}^{5}}}+\frac{{{c}^{4}}}{3{{c}^{3}}-{{c}^{5}}}\ge \frac{{{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}^{2}}}{3({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})-({{a}^{5}}+{{b}^{5}}+{{c}^{5}})}. \\ \end{align}\)

Do áp dụng bất đẳng thức quen thuộc : \(\frac{{{m}^{2}}}{a}+\frac{{{n}^{2}}}{b}+\frac{{{p}^{2}}}{c}\ge \frac{{{(m+n+p)}^{2}}}{a+b+c}.\)

Ta có:

\(\begin{align}  & \frac{{{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})}^{2}}}{3({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})-({{a}^{5}}+{{b}^{5}}+{{c}^{5}})}\ge \frac{3}{2} \\  & \Leftrightarrow 18+3({{a}^{5}}+{{b}^{5}}+{{c}^{5}})\ge 9({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}) \\  & \Leftrightarrow 6+({{a}^{5}}+{{b}^{5}}+{{c}^{5}})\ge 3({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}), \\ \end{align}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\begin{align}  & {{a}^{5}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{5}}{{a}^{2}}{{a}^{2}}}=3{{a}^{3}} \\  & {{b}^{5}}+{{b}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{b}^{5}}{{b}^{2}}{{b}^{2}}}=3{{b}^{3}} \\  & {{c}^{5}}+{{c}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{c}^{5}}{{c}^{2}}{{c}^{2}}}=3{{c}^{3}} \\ \end{align}\)

Cộng vế với vế tương ứng ta có điều phải chứng minh.

Vậy \(Min\ P=\frac{3}{2}\) khi  \(x=y=z=1.\)

Chọn B