Cho tam giác \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left( AB...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Câu a: Chứng minh tứ giác AMIN có ba góc vuông \(\Rightarrow \) là hình chữ nhật.

Câu b: Chứng minh \(AN=NH\Rightarrow ADCI\) là hình bình hành.

Chứng minh \(AC\bot ID\Rightarrow ADCI\) là hình thoi.

Câu c: Kẻ \(IH//BK\), chứng minh \(HK=HC;HK=KD\Rightarrow DK=KH=HC=\frac{1}{3}DC\)

Giải chi tiết:

a) Xét tứ giác AMIN có:

\(\widehat{MAN}={{90}^{0}}\) (vì tam giác ABC vuông ở A)

\(\widehat{AMI}~={{90}^{0}}\) (vì IM vuông góc với AB)

\(\widehat{ANI}~={{90}^{0}}\) (vì IN vuông góc với AC)

Vậy AMIN là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

b) \(\Delta ABC\) vuông có AI là trung tuyến nên \(AI=IC=\frac{1}{2}BC\)

Do đó \(\Delta AIC\) cân có đường cao IN đồng thời là trung tuyến \(\Rightarrow NA=NC\)

Lại có NI = ND ( tính chất đối xứng) nên ADCI là hình bình hành có \(AC\bot ID\)

Vậy tứ giác ADCI là hình thoi.

c) Kẻ IH // BK ta có IH là đường trung bình \(\Delta BKC\)

\(\Rightarrow \)H là trung điểm của CK hay KH = HC (1)

Xét \(\Delta DIH\) có N là trung điểm của DI, NK // IH (BK // IH)

Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (2)

Từ (1) và (2) suy ra DK = KH = HC \(\Rightarrow \frac{DK}{DC}=\frac{1}{3}\).

chọn B