Cho tam giác $\Delta ABC$ vuông tại \(A\left( AB...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Câu a: Chứng minh tứ giác AMIN có ba góc vuông $\Rightarrow$ là hình chữ nhật.

Câu b: Chứng minh $AN=NH\Rightarrow ADCI$ là hình bình hành.

Chứng minh $AC\bot ID\Rightarrow ADCI$ là hình thoi.

Câu c: Kẻ $IH//BK$, chứng minh $HK=HC;HK=KD\Rightarrow DK=KH=HC=\frac{1}{3}DC$

Giải chi tiết:

a) Xét tứ giác AMIN có:

$\widehat{MAN}={{90}^{0}}$ (vì tam giác ABC vuông ở A)

$\widehat{AMI}~={{90}^{0}}$ (vì IM vuông góc với AB)

$\widehat{ANI}~={{90}^{0}}$ (vì IN vuông góc với AC)

Vậy AMIN là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

b) $\Delta ABC$ vuông có AI là trung tuyến nên $AI=IC=\frac{1}{2}BC$

Do đó $\Delta AIC$ cân có đường cao IN đồng thời là trung tuyến $\Rightarrow NA=NC$

Lại có NI = ND ( tính chất đối xứng) nên ADCI là hình bình hành có $AC\bot ID$

Vậy tứ giác ADCI là hình thoi.

c) Kẻ IH // BK ta có IH là đường trung bình $\Delta BKC$

$\Rightarrow$H là trung điểm của CK hay KH = HC (1)

Xét $\Delta DIH$ có N là trung điểm của DI, NK // IH (BK // IH)

Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (2)

Từ (1) và (2) suy ra DK = KH = HC $\Rightarrow \frac{DK}{DC}=\frac{1}{3}$.

chọn B