Cho hypebol \((H):{x^2} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)....

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,{c^2} = {a^2} + {b^2}\). Tọa độ tiêu điểm \({F_1}( - c;0),\,{F_2}(c;0)\)

\(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}}  = 0\)

Giải chi tiết:

Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow {x_0}^2 - \frac{{{y_0}^2}}{9} = 1\,\,\,(1)\)

\((H):{x^2} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {10} \end{array} \right. \Rightarrow {F_1}( - \sqrt {10} ;0);{F_2}(\sqrt {10} ;0)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {M{F_1}}  = \left( { - \sqrt {10}  - {x_0}; - {y_0}} \right);\overrightarrow {M{F_2}}  = \left( {\sqrt {10}  - {x_0}; - {y_0}} \right)\)

Vì M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông \(\widehat { \Rightarrow {F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( { - \sqrt {10}  - {x_0}} \right).\left( {\sqrt {10}  - {x_0}} \right) + \left( { - {y_0}} \right).\left( { - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 - 10 + {y_0}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 10\,\,(2)\)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 - \frac{{{y_0}^2}}{9} = 1\\{x_0}^2 + {y_0}^2 = 10\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 = \frac{{19}}{{10}}\\{y_0}^2 = \frac{{81}}{{10}}\end{array} \right.\)

Vì \(M\) nằm trong góc phần tư thứ II nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - \sqrt {\frac{{19}}{{10}}} \\{y_0} = \frac{9}{{\sqrt {10} }}\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( { - \sqrt {\frac{{19}}{{10}}} ;\frac{9}{{\sqrt {10} }}} \right)\).

Chọn: D