Cho hypebol \((H):9{x^2} - 16{y^2} = 144\). Tìm đi...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,{c^2} = {a^2} + {b^2}\). Tọa độ tiêu điểm \({F_1}( - c;0),\,{F_2}(c;0)\)

\(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}}  = 0\)

Giải chi tiết:

Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow 9{x_0}^2 - 16{y_0}^2 = 144\,(1)\)

\((H):9{x^2} - 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\\c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 5\end{array} \right. \Rightarrow {F_1}( - 5;0);{F_2}(5;0)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {M{F_1}}  = \left( { - 5 - {x_0}; - {y_0}} \right);\overrightarrow {M{F_2}}  = \left( {5 - {x_0}; - {y_0}} \right)\)

Vì M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông \( \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( { - 5 - {x_0}} \right).\left( {5 - {x_0}} \right) + \left( { - {y_0}} \right).\left( { - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 - 25 + {y_0}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 25\,\,(2)\)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}9{x_0}^2 - 16{y_0}^2 = 144\,\\{x_0}^2 + {y_0}^2 = 25\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 = \frac{{544}}{{25}}\\{y_0}^2 = \frac{{81}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  \pm \frac{{4\sqrt {34} }}{5}\\{y_0} =  \pm \frac{9}{5}\end{array} \right.\)

Vậy, \({M_1}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right);{M_2}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right);{M_3}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right);{M_4}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right)\).

Chọn: A