Cho hai tam giác \(ACD\) và \(BCD\) nằm trên hai m...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Giải chi tiết:

 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Ta có \(AN\bot CD\) mà \(\left( ACD \right)\bot \left( BCD \right)\)

\(\Rightarrow AN\bot \left( BCD \right)\Rightarrow AN\bot BN\Rightarrow \Delta ANB\) vuông tại N \(\Rightarrow NM=\frac{AB}{2}\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(C,\) có \(M\) là trung điểm của \(AB\)\(\Rightarrow CM\bot AB.\)

Giả sử \(\left( ABC \right)\bot \left( ABD \right)\) mà \(CM\bot AB\)\(\Rightarrow CM\bot \left( ABD \right)\Rightarrow CM\bot DM.\)

Khi đó, \(\Delta \,MCD\) vuông tại \(M\). Ta có \(\Delta ABC=\Delta ABD\,\,\left( c.c.c \right)\Rightarrow CM=DM\Rightarrow \Delta MCD\) vuông cân tại M.

\(\Rightarrow \,\,MN=\frac{CD}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AB=CD=2x\)

Lại có \(\Delta ACD=\Delta BCD\,\,\left( c.c.c \right)\Rightarrow AN=BN=\sqrt{A{{C}^{2}}-C{{N}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}},\) mà \(A{{B}^{2}}=A{{N}^{2}}+B{{N}^{2}}.\)

Suy ra \(2\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)=4{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}=3{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\)

Chọn A.