Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). \(AB = a;AC = a...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Chứng minh ∆ ABC vuông cân tại B

+ Chứng minh trung điểm I của AC là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp A.BCC₁B₁

Giải chi tiết:

Tam giác ABC có \(AB = a,AC = a\sqrt 2 ,\widehat {BAC} = 45^\circ \) nên theo định lý cosin ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos 45^\circ  = {a^2} \Rightarrow BC = a\)

Suy ra ∆ ABC vuông cân tại B

Gọi I là trung điểm AC, ta có IA = IC = IB

Vì AC₁ ⊥ SC nên IA = IC = IC₁

VÌ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB₁, mà AB₁ ⊥ SB ⇒ AB₁ ⊥ (SBC) ⇒ AB₁ ⊥ B₁C

⇒ IA = IC = IB₁

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp A.BCC₁B₁

Bán kính và thể tích khối cầu đó lần lượt là

\(\begin{array}{l}R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)

Chọn đáp án A