Cho hình chóp S.ABC có\(\left( {SAB} \right),\left...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Xác định chiều cao của hình chóp dựa vào định lý: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

- Xác định góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt đáy bằng cách xác định góc giữa $SB$ và hình chiếu của nó trên $\left( {ABCD} \right)$.

- Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp $S.AMN$ và $S.ABC$ ($M,N$ lần lượt thuộc $SB,SC$)  là $\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}}$

- Áp dụng phương pháp cộng, trừ thể tích để tính thể tích khối đa diện $ABMNC$.

Giải chi tiết:

Cách giải:

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)$

$\Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)$

$\Rightarrow AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $\left( {ABC} \right)$ $\Rightarrow \widehat {SBA} = {60^0}$

$SA = AB\tan {60^0} = a\sqrt 3$

${V_{SABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AB.BC.SA = \dfrac{1}{6}{a^3}\sqrt 3$

$\dfrac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{SAMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{SABC}} = \dfrac{1}{{24}}{a^3}\sqrt 3$

$\Rightarrow {V_{ABMNC}} = {V_{SABC}} - {V_{SAMN}} = \dfrac{1}{6}{a^3}\sqrt 3  - \dfrac{1}{{24}}{a^3}\sqrt 3  = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$

Đáp án D