Xét các số phức

Câu hỏi: Xét các số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn điều kiện $|z - 4 - 3 i| = \sqrt{5.}$ Tính $P = a + b$ khi giá trị biểu thức $|z + 1 - 3 i| + |z - 1 + i|$ đạt giá trị lớn nhất.

A. $P = 10.$

B. $P = 4.$

C. $P = 6.$

D. $P = 8.$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Gọi $M (x, y)$ là điểm biểu diễn số phức z.

Từ giả thiết, ta có $|z - 4 - 3 i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5 \Rightarrow M$ thuộc đường tròn (C) tâm $I (4; 3),$ bán kính $R = \sqrt{5} .$ Khi đó $P = M A + M B,$ với $A (- 1; 3), B (1; - 1) .$

Ta có

$P^{2} = M A^{2} + M B^{2} + 2 M A . M B \leq 2 (M A^{2} + M B^{2}) .$

Gọi $E (0; 1)$ là trung điểm của AB

$\Rightarrow M E^{2} = \frac{M A^{2} + M B^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4} .$

Do đó $P^{2} \leq 4 M E^{2} + A B^{2}$ mà

$M E \leq C E = 3 \sqrt{5} s u y r a P^{2} \leq 4. {(3 \sqrt{5})}^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2} = 200.$

Với C là giao điểm của đường thẳng EI

với đường tròn (C).

Vậy $P \leq 10 \sqrt{2} .$ Dấu “=” xảy ra

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} M A = M B \\ M = C \end{cases} \Rightarrow M (6; 4) \Rightarrow a + b = 10.$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

↑

Xét các số phức

Câu hỏi: Xét các số phức z=a+bi a,b∈ℝ thỏa mãn điều kiện z−4−3i=5. Tính P=a+b khi giá trị biểu thức z+1−3i+z−1+i đạt giá trị lớn nhất.

Câu hỏi: Xét các số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn điều kiện $|z - 4 - 3 i| = \sqrt{5.}$ Tính $P = a + b$ khi giá trị biểu thức $|z + 1 - 3 i| + |z - 1 + i|$ đạt giá trị lớn nhất.