Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho 2 điể...

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D

Điểm $A(2;1;-3),B(2;4;1),O\left(0;0;0\right)$ suy ra G là trọng tâm tam giác ABO là $G\left(\frac{2}{3};\frac{5}{3};-\frac{2}{3}\right)$

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuống góc cuả A, B, O trên đường thẳng d

Khi đó, khoảng cách:

$d_{A\to \left(d\right)}=AM;d_{B\to \left(d\right)}=BN;d_{O\to \left(d\right)}=OP$

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}AM\le AG\\ BN\le BG\\ OP\le OG\end{array}\right.$

$\Rightarrow d_{A\to \left(d\right)}+d_{B\to \left(d\right)}+d_{O\to \left(d\right)}\le AG+BG+OG=const$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng d vuông góc mặt phẳng $\left(ABO\right)$ tại G

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{OA}=\left(2;1;-3\right)\\ \overrightarrow{OB}=\left(2;4;1\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(ABO\right)}}=\left(13;-8;6\right)$

$\Rightarrow$véc tơ chỉ phương của (d) là $\overrightarrow{u}=\left(-13;8;-6\right)$