Xét các số thực dương x,y thỏa mãn

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có $x\left(x-3\right)+y\left(y-3\right)+xy$

$$\begin{gathered} =x^2+y^2+xy-3x-3y \\ =x^2+y^2+xy+2-3\left(x+y\right)-2 \end{gathered}$$

Khi đó, giả thiết trở thành:

$$\begin{gathered} {\log }_{\sqrt{3}}\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2} \\ =x^2+y^2+xy+2-3\left(x+y\right)-2 \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \iff {\log }_{\sqrt{3}}\left(x+y\right)-{\log }_{\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+xy+2\right) \\ =x^2+y^2+xy+2-3\left(x+y\right)-2 \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \iff 3\left(x+y\right)+{\log }_{\sqrt{3}}3\left(x+y\right) \\ =x^2+y^2+xy+2+{\log }_{\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+xy+2\right) \end{gathered}$$ 

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+{\log }_{\sqrt{3}}t$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right),$

có $f\text{'}\left(t\right)=1+\frac{1}{t\ln \sqrt{3}}>;\forall t>0.$

Suy ra f( t) là hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

mà $f\left[3\left(x+y\right)\right]=f\left(x^2+y^2+xy+2\right)$ 

$$\begin{gathered} \iff {\left(2x+y\right)}^2-6\left(2x+y\right)+5 \\ =-3{\left(y-1\right)}^2\le 0\iff 1\le 2x+y\le 5. \end{gathered}$$ 

Khi đó $P=1+\frac{2x+y-5}{x+y+6}\le 1$ 

vì $\left\{\begin{array}{l}2x+y-5\le 0\\ x+y+6>0\end{array}\right..$ Vậy $P_{max}=1.$