Trong không gian với hệ trục tọa...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình mặt phẳng (P) về dạng chỉ còn 1 tham số.

- (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất $\Leftrightarrow d(I;(P))$ max, trong đó: I là tâm mặt cầu (S).

Giải chi tiết:

$A(3; - 2;6),\,\,B(0;1;0) \in (P):a\,x + by + cz - 2 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a\, - 2b + 6c - 2 = 0\\ b - 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 2\\ a = 2 - 2c \end{array} \right.$

$(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25$có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=5.$

 (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất $\Leftrightarrow d(I;(P))$ max, trong đó: I là tâm mặt cầu (S).

Ta có: $d(I,(P))=\frac{\left| (2-2c).1+2.2+c.3-2 \right|}{\sqrt{{{(2-2c)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| c+4 \right|}{\sqrt{5{{c}^{2}}-8c+8}}=\sqrt{\frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}}$

Ta tìm giá trị lớn nhất của $\frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}$. Gọi m là giá trị của $\frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}$ với c nào đó. Ta có:

$m=\frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}\Leftrightarrow {{c}^{2}}+8c+16=m\left( 5{{c}^{2}}-8c+8 \right)\Leftrightarrow {{c}^{2}}(1-5m)+8(1+m)c+16-8m=0\,\,(*)$

             $\Delta '={{\left( 4+4m \right)}^{2}}-(1-5m)(16-8m)=16+32m+16{{m}^{2}}-16+8m+80m-40{{m}^{2}}=-24{{m}^{2}}+120m$

(*) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta '\ge 0\Leftrightarrow 0\le m\le 5$.

$\Rightarrow 0\le \frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}\le 5\Rightarrow \left( \sqrt{\frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}} \right)\max =\sqrt{5}$ khi và chỉ khi $c=\frac{-4(1+m)}{1-5m}=\frac{-4(1+5)}{1-5.5}=1$

Khi đó, $T=a+b+c=2-2c+2+c=4-c=4-1=3$

Chọn: B