Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng \(a\), \(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định tâm \(I\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện.

+) Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa.

Giải chi tiết:

Tâm \(I\) của mặt cầu \(\left( S \right)\)tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều \(ABCD\) là trọng tâm của tứ diện (hay trung điểm đường nối hai trung điểm của hai cạnh chéo nhau).

Đặc biệt hóa điểm \(M\) chạy trên mặt cầu \(\left( S \right)\) là tiếp điểm của mặt cầu \(\left( S \right)\) và cạnh \(AD\).

Ta có theo công thức đường trung tuyến ta có \(M{{C}^{2}}=M{{B}^{2}}=\frac{A{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}}{2}-\frac{A{{D}^{2}}}{4}={{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\)

Nên \(T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{4}+2.\frac{3{{a}^{2}}}{4}=2{{a}^{2}}\)

Chọn D.