Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z}^{2}}-2z+5...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đại số với việc đặt \(z=a+bi\,\,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) để tìm min – max của môđun số phức

Giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}{z^2} - 2z + 5 = {\left( {z - 1} \right)^2} + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {z - 1} \right)^2} - {\left( {2i} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z - 1 - 2i} \right)\end{array}\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - 1 + 2i} \right|.\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|.\left| {z + 3i - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - 1 + 2i} \right|\left( {\left| {z - 1 - 2i} \right| - \left| {z + 3i - 1} \right|} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {z - 1 + 2i} \right| = 0\\\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right|\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(\left| {z - 1 + 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow z = 1 - 2i\).

Khi đó \(w = z - 2 + 2i = 1 - 2i - 2 + 2i =  - 1\).

\( \Rightarrow \left| w \right| = \left| { - 1} \right| = 1.\)

TH2: \(\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y - 2} \right)i} \right| = \left| {x - 1 + \left( {y + 3} \right)i} \right|\) với \(z = x + yi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow z = x - \dfrac{1}{2}i.\end{array}\)

Khi đó \(\left| w \right| = \left| {z - 2 + 2i} \right| = \left| {x - 2 + \dfrac{3}{2}i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + \dfrac{9}{4}}  \ge \dfrac{3}{2}.\)

 Vậy \(\min \left| w \right| = 1.\)

Chọn C.