Tìm \(m\) để hệ phương trình sau có nghiệm: \(\lef...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(x + \frac{1}{x} = a;y + \frac{1}{y} = b\) tìm điều kiện của a , b  đưa về hệ phương trình đối xứng loại 1

Cách giải hệ đối xứng loại 1 :

Bước 1: Biến đổi, làm xuất hiện các đại lượng tổng và tích trong hệ phương trình. Tức là đưa hệ phương trình về dạng: \(\left( I \right)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{g_1}\left( {a \pm b;ab} \right) = 0\\{g_2}\left( {a \pm b;ab} \right) = 0\end{array} \right.\)

Bước 2: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a \pm b = S\\ab = P\end{array} \right.\). Thế vào hệ phương trình (I), giải hệ phương trình đã cho tìm S, P.

Bước 3: Giải bằng phương pháp thế hoặc định lí Vi-ét đảo để tìm nghiệm \(\left( {a;b} \right)\).

Từ đó tìm điểu kiện của m để phương trình có nghiệm thỏa mãn .

Giải chi tiết:

Điều kiện \(x;y \ne 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = 5\\{x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} + {y^3} + \frac{1}{{{y^3}}} = 15m - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = 5\\{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + {\left( {y + \frac{1}{y}} \right)^3} - 3\left( {y + \frac{1}{y}} \right) = 15m - 10\end{array} \right.\)

Đặt \(x + \frac{1}{x} = a;y + \frac{1}{y} = b\)

Ta có \(x + \frac{1}{x} = a \Leftrightarrow {x^2} - ax + 1 = 0\) có nghiệm của phương trình có nghiệm \(x \ne 0\) khi

\(\left\{ \begin{array}{l}f(0) \ne 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{a^2} - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| a \right| \ge 2\)

Tương tự \(y + \frac{1}{y} = b\)có nghiệm khi \(\left| b \right| \ge 2\)

\(\begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = a;y + \frac{1}{y} = b\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\{a^3} - 3a + {b^3} - 3b = 15m - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^3} - 3a + {(5 - a)^3} - 3(5 - a) = 15m - 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^3} - 3a + {(5 - a)^3} - 3(5 - a) = 15m - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\120 - 75a + 15{a^2} = 15m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\8 - 5a + {a^2} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^2} - 5a + 8 - m = 0(*)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 5a + 8 - m = 0\\\left| b \right| = \left| {5 - a} \right| \ge 2\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left| b \right| = \left| {5 - a} \right| \ge 2\\\left| a \right| \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a \ge 2\\a \le  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a \le 3\\a \ge 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge 7\\a \le  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow (a - 7)(a + 2) \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 5a + 8 \ge 22\)

Phương trình \({a^2} - 5a + 8 - m = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 5a + 8 = m\) : có nghiệm a thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\left| b \right| = \left| {5 - a} \right| \ge 2\\\left| a \right| \ge 2\end{array} \right.\)

Khi \({a^2} - 5a + 8 \ge 22 \Leftrightarrow m \ge 22\)

Vậy \(m \ge 22\)

Chọn A.