Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) cạnh \(a\). Biết...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm.

Giải chi tiết:

Ta có: \(2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + 2{\overrightarrow {MC} ^2} + {\overrightarrow {MD} ^2}\)

\( = 2{\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD} } \right)^2}\)

\( = 2M{O^2} + 4\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OA}  + 2O{A^2} + M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OB}  + O{B^2} + 2M{O^2} + 4\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OC}  + 2O{C^2} + M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OD}  + O{D^2}\)

\( = 6M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\left( {2\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right) + 2O{A^2} + O{B^2} + 2O{C^2} + O{D^2}\)

\( = 6M{O^2} + 2O{A^2} + O{B^2} + 2O{C^2} + O{D^2}\), (do \(2\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = 2\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \))

Mà \(2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 9{a^2}\)\( \Rightarrow 6M{O^2} + 2O{A^2} + O{B^2} + 2O{C^2} + O{D^2} = 9{a^2}\) (*)

\(ABCD\) là hình vuông tâm O, cạnh a \( \Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Khi đó, (*) \( \Leftrightarrow 6M{O^2} + 6.\dfrac{{{a^2}}}{2} = 9{a^2} \Leftrightarrow 6M{O^2} = 6{a^2} \Leftrightarrow MO = a\)

Như vậy, tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 9{a^2}\) là một đường tròn tâm O bán kính là \(R = a\).

Chọn: B