Cho \(a,b,c\) là các số không âm có tổng bằng 1. C...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh \({\left[ {a + \left( {b + c} \right)} \right]^2} \ge 4a\left( {b + c} \right)\) và \({\left( {b + c} \right)^2} \ge 4bc\)từ đó suy ra đpcm

Giải chi tiết:

Cho a, b, c là các số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh: \(b + c \ge 16abc\)

Theo đề bài ta có: \(a,\;b,\;c \ge 0,\;\;a + b + c = 1.\)

Ta có: \({\left[ {a - \left( {b + c} \right)} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow {\left[ {a + \left( {b + c} \right)} \right]^2} \ge 4a\left( {b + c} \right)\)

\( \Rightarrow 1 \ge 4a\left( {b + c} \right) \Rightarrow b + c \ge 4a{\left( {b + c} \right)^2}\;\;\left( {do\;a,\;b,\;c \ge 0 \Rightarrow b + c \ge 0} \right)\)  

Mà  \({\left( {b - c} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {b + c} \right)^2} \ge 4bc \Rightarrow b + c \ge 16abc\;\;\left( {dpcm} \right)\)  

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\a = b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = c = \frac{1}{4}\end{array} \right..\)