Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến số $t = {9^x} + 3$ để tính tích phân theo $m$

Từ đó giải phương trình ẩn $m$ thu được để tìm $m$.

Giải chi tiết:

Ta có $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {{9^x} + 3} \right) - 3 + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {1 + \dfrac{{3\left( {m - 1} \right)}}{{{9^x} + 3}}} \right)dx}$

$= \left. x \right|_0^1 + 3\left( {m - 1} \right)\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{9^x} + 3}}dx}  = 1 + 3\left( {m - 1} \right)\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{9^x} + 3}}dx}$

Ta tính $J = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{9^x} + 3}}dx}$

Đặt ${9^x} + 3 = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{9^x}.\ln 9dx = dt\\{9^x} = t - 3\end{array} \right. \Rightarrow dx = \dfrac{1}{{\ln 9}}.\dfrac{{dt}}{{\left( {t - 3} \right)}}$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 4\\x = 1 \Rightarrow t = 12\end{array} \right.$

Khi đó $J = \int\limits_4^{12} {\dfrac{1}{t}.\dfrac{1}{{\ln 9}}.\dfrac{1}{{\left( {t - 3} \right)}}dt = } \dfrac{1}{{\ln 9}}\int\limits_4^{12} {\dfrac{1}{t}.\dfrac{1}{{\left( {t - 3} \right)}}dt}  = \dfrac{1}{{3\ln 9}}\int\limits_4^{12} {\left( {\dfrac{1}{{t - 3}} - \dfrac{1}{t}} \right)dt}$

$= \dfrac{1}{{3\ln 9}}\left. {\ln \left| {\dfrac{{t - 3}}{t}} \right|} \right|_4^{12} = \dfrac{1}{{3\ln 9}}\left( {\ln \dfrac{3}{4} - \ln \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{{3.2\ln 3}}.\ln 3 = \dfrac{1}{6}$

Suy ra $I = 1 + 3\left( {m - 1} \right).\dfrac{1}{6} = 1 + \dfrac{{m - 1}}{2}$.

Theo đề bài ta có $1 + \dfrac{{m - 1}}{2} = {m^2} \Leftrightarrow 2{m^2} - m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Tổng các giá trị của $m$ là $1 + \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}.$

Chọn B.