Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình về dạng \(f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Sử dụng lý thuyết: \(f\left( x \right) > g\left( x \right),\forall x \in D \Leftrightarrow g\left( x \right) < \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(2f\left( x \right) + {x^2} > 4x + m \Leftrightarrow f\left( x \right) > \dfrac{{ - {x^2} + 4x + m}}{2}\)

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;3} \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) > \dfrac{{ - {x^2} + 4x + m}}{2},\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow g\left( x \right) = \dfrac{{ - {x^2} + 4x + m}}{2} < \mathop {\min }\limits_{\left( { - 1;3} \right)} f\left( x \right) =  - 3,\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\) hay \(\dfrac{{ - {x^2} + 4x + m}}{2} <  - 3,\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow  - {x^2} + 4x + m <  - 6,\forall x \in \left( { - 1;3} \right) \Leftrightarrow m < {x^2} - 4x - 6,\forall x \in \left( { - 1;3} \right) \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left( { - 1;3} \right)} h\left( x \right)\) với \(h\left( x \right) = {x^2} - 4x + 6\).

Xét \(h\left( x \right) = {x^2} - 4x + 6\) trên \(\left( { - 1;3} \right)\) có \(h'\left( x \right) = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left( { - 1;3} \right)\).

Bảng biến thiên:

Do đó \(m <  - 10\).

Chọn B.