Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 1...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} \), tìm điều kiện của \(t\).

+) Biểu diễn \(\sqrt {18 + 3x - {x^2}} \) theo \(t\), đưa bất phương trình về dạng \(m \ge f\left( t \right)\,\,\forall t \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right)\).

Giải chi tiết:

\(\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x}  - \sqrt {18 + 3x - {x^2}}  \le {m^2} - m + 1\).

ĐKXĐ: \( - 3 \le x \le 6\).

Đặt \(t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} \)

Ta có: \(t'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {3 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {6 - x} }} = \frac{{\sqrt {6 - x}  - \sqrt {3 + x} }}{{2\sqrt {3 + x} \sqrt {6 - x} }} = 0 \Leftrightarrow 6 - x = 3 + x \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

BBT:

\( \Rightarrow t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]\)

Ta có \({t^2} = 3 + x + 6 - x + 2\sqrt {18 + 3x - {x^2}}  = 9 + 2\sqrt {18 + 3x - {x^2}} \)

\( \Rightarrow \sqrt {18 + 3x - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 9}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = t - \frac{{{t^2} - 9}}{2} \le {m^2} - m + 1\,\,\forall t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]\) (*)

Phương trình (*) có nghiệm đúng \(\forall t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right] \Leftrightarrow {m^2} - m + 1 \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;3\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t - \frac{{{t^2} - 9}}{2}\) ta có : \(f'\left( t \right) = 1 - \frac{1}{2}.2t = 1 - t = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

BBT:

\( \Rightarrow {m^2} - m + 1 \ge 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le  - 1\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 10; - 1} \right] \cup \left[ {2;10} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \)Có 19 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.