Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài các cạnh \(AB = AC...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Tam giác \(BCD\) có: \(B{C^2} + B{D^2} = C{D^2} = 2{a^2} \Rightarrow \Delta BCD\) vuông cân tại \(B\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\).

Có \(AB = AC = AD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).

Trong \(\left( {BCD} \right)\) dựng hình bình hành \(BCDE\) ta có

\(BC//DE \Rightarrow \angle \left( {BC;AD} \right) = \angle \left( {DE;AD} \right)\).

Tam giác \(BCD\) cân tại \(B \Rightarrow BH\) là phân giác của \(\angle CBD\)

\( \Rightarrow \angle HBD = {45^0}\).

Có \(BE//CD \Rightarrow \angle DBE = \angle BDC = {45^0}\)

\( \Rightarrow \angle HBE = \angle HBD + \angle DBE = {90^0} \Rightarrow \Delta BHE\) vuông tại \(B\).

Ta có: \(BH = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};\,\,BE = CD = a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow EH = \sqrt {B{H^2} + B{E^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).

Trong tam giác vuông \(ABH:\,\,AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Trong tam giác vuông \(AHE:\,\,AE = \sqrt {A{H^2} + H{E^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{5{a^2}}}{2}}  = a\sqrt 3 \).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(ADE\) có:

\(\cos \angle ADE = \dfrac{{A{D^2} + E{D^2} - A{E^2}}}{{2AD.ED}} = \dfrac{{{a^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2{a^2}}} =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle ADE = {120^0}\).

Vậy \(\angle \left( {AD;BC} \right) = {60^0}\).

Chọn D.