Từ điểm A ngoài đường tròn (O; R), dựng hai tiếp t...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh đây là tứ giác có 2 góc đối diện vuông.

b) Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh.

c) Chú ý: chứng minh tứ giác MHON là tứ giác nội tiếp.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh AO vuông góc BC và tứ giác ABOC nội tiếp.

Do AB, AC là các tiếp tuyến của (O) nên: \(\angle ABO = \angle ACO = {90^0}\) (định nghĩa)

Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:

\(\angle ABO + \angle ACO = {180^0}\)

\( \Rightarrow ABOC\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

Ta có \(AB = AC\)  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Và \(AO\) là phân giác của \(\angle BAC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\) có đường phân giác \(AH \Rightarrow AH\) cũng là đường cao của \(\Delta ABC \Rightarrow AH \bot BC\) hay \(AO \bot BC = \left\{ H \right\}.\) (đpcm).

b) Chứng minh: AM. AN = AH. AO.

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABO\) vuông tại \(B,\) có đường cao \(BH\) ta có: \(AH.AO = A{B^2}.\)

Ta có: \(\angle ABM = \angle ANB = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,BM\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ANB\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ABM = \angle ANM\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle BAM\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ABM \sim \Delta ANB\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AM.AN.\\ \Rightarrow AH.AO = AM.AN\,\,\left( { = A{B^2}} \right).\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

c) AO cắt (O, R) tại I. Chứng minh MI là phân giác góc AMH.

Ta có: \(AM.AN = AH.AO\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\)

Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AON\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle A\,\,chung\\\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AN}}\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AMH \sim \Delta AON\,\,\left( {g - c - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle AMH = \angle AON\) (hai góc tương ứng).

Xét tứ giác \(MHON\) ta có: \(\angle AMH = \angle AON\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow MHON\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

\( \Rightarrow \angle IHM = \angle MNO\) (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Ta có : \(\angle IMN\) là góc nội tiếp chắn cung \(IN \Rightarrow \angle IMN = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,ICN\)

\(\angle NOI = sd\,\,cung\,\,NBI\)  (góc ở tâm chắn cung \(NBI\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AMI = {180^0} - \angle IMN = {180^0} - \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,NCI = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,NBI = \frac{1}{2}\angle NOI\\ \Rightarrow \angle NOI = \angle AMH = 2\angle AMI.\end{array}\)

Vậy \(MI\) là tia phân giác của \(\angle AMH.\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)