Cho hàm số $y = {x^3} - 3mx + 1$. Tìm m để đồ th...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình $y' = 0$ tìm các điểm cực trị của hàm số.

Tam giác ABC cân tại A $\Leftrightarrow AB = AC.$

Giải chi tiết:

TXĐ: $D = R$.

Ta có $y' = 3{x^2} - 3m = 0 \Leftrightarrow {x^2} = m$

Để hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow m > 0$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt m  \Rightarrow y =  - 2m\sqrt m  + 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt m ; - 2m\sqrt m  + 1} \right)\\x =  - \sqrt m  \Rightarrow y = 2m\sqrt m  + 1 \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ;2m\sqrt m  + 1} \right)\end{array} \right.$

$\Delta ABC$ cân tại A $\Rightarrow AB = AC \Leftrightarrow A{B^2} = A{C^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt m  - 2} \right)^2} + {\left( { - 2m\sqrt m  - 2} \right)^2} = {\left( { - \sqrt m  - 2} \right)^2} + {\left( {2m\sqrt m  - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow m - 4\sqrt m  + 4 + 4{m^3} + 8m\sqrt m  + 4 = m + 4\sqrt m  + 4 + 4{m^3} - 8m\sqrt m  + 4\\ \Leftrightarrow 8\sqrt m  - 16m\sqrt m  = 0\\ \Leftrightarrow 8\sqrt m \left( {1 - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\,\,\left( {Do\,\,m > 0} \right)\end{array}$

Chọn C.