Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết:

Gọi $O = AC \cap BD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AO\\BD \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {AOA'} \right) \Rightarrow BD \bot OA'$.

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {BDA'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\\left( {BDA'} \right) \supset OA' \bot BD\\\left( {ABCD} \right) \supset OA \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {BDA'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {OA';OA} \right) = \angle A'OA$

Giả sử $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương cạnh bằng 1 $\Rightarrow AC = \sqrt 2  \Rightarrow OA = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Trong tam giác vuông $OAA'$ có: $OA' = \sqrt {O{A^2} + AA{'^2}}  = \sqrt {\dfrac{1}{2} + 1}  = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$.

$\Rightarrow \cos \angle A'OA = \dfrac{{OA}}{{AA'}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $\cos \angle \left( {\left( {BDA'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Chọn D.