Chứng minh biểu thức \(S={{n}^{3}}{{(n+2)}^{2}}+(n...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi biểu thức S.

+) Sử dụng tính chất chia hết.

Giải chi tiết:

Khai triển giá trị của S ra ta được:

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;\;S = {n^3}{(n + 2)^2} + (n + 1)({n^3} - 5n + 1) - 2n - 1\\
\Leftrightarrow S = {n^3}\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) + {n^4} - 5{n^2} + n + {n^3} - 5n + 1 - 2n - 1\\
\Leftrightarrow S = {n^5} + 5{n^4} + 5{n^3} - 5{n^2} - 6n\\
\Leftrightarrow S = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3).
\end{array}\)

Do đây là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp.

Cứ 3 số tự nhiên liên tiếp thì sẽ có 1 số chia hết cho 3 nên 3 là ước của S.

Cứ 5 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 5 nên 5 là ước của S.

4 trong 5 số của S sẽ có đầy đủ số dư khi chia cho 4 và có dạng: 4k; 4k + 1; 4k + 2; 4k + 3 do đó ta có ngay: \(4k\left( {4k + 2} \right) = 8k\left( {k + 1} \right)\) và chia hết cho 8.

3 số 3, 5, 8 đôi một nguyên tố cùng nhau và \(3.5.8=120.\)

Do đó S sẽ chia hết cho 120.

Ta có điều phải chứng minh