Cho hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số $\dpi{100} y=x^{3}-3(m+1)x^{2}+9x-m$ (m là tham số). Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại $\dpi{80} x_{1},x_{2}$ sao cho $\dpi{80} \left | x_{1}-x_{2} \right |\leq 2$

A $\dpi{100} \left [ \begin{matrix} m< -1-\sqrt{3}\\ m>-1+\sqrt{3}\end{matrix}$

B $\dpi{100} -3\leq m\leq 1$

C $\dpi{100} m\leq 1$

D $\dpi{100} \left [ \begin{matrix} -3\leq m< -1-\sqrt{3}\\ -1+\sqrt{3}< m\leq 1\end{matrix}$

Đáp án

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có; $\dpi{100} y'=$ $\dpi{100} 3x^{2}-6(m+1)x+9$ ( 0,25đ)

y'=0 <=> $\dpi{100} 3x^{2}-6(m+1)x+9$ $\dpi{100} =0$

<=> $\dpi{100} x^{2}-2(m+1)x+3=0$ (1)

Hàm số đạt cực trị tại $\dpi{100} x_{1},x_{2}$ <=> pt y'=0 có 2 nghiệm phân biệt $\dpi{100} x_{1},x_{2}$ ( 0,5đ)

<=> pt (1) có 2 nghiệm phân biệt $\dpi{100} x_{1},x_{2}$

<=> $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} a\neq 0 & \\ \Delta '>0 & \end{matrix}\right.$ ( 0,25đ) <=> $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} 1\neq 0 & \\ (m+1)^{2} -1.3 >0& \end{matrix}\right.$ <=> $\dpi{100} m^{2}+2m-2>0$

<=> $\dpi{100} \left [ \begin{matrix} m< -1-\sqrt{3}\\ m>-1+\sqrt{3}\end{matrix}$

( 0,5đ)

( chú thích thêm gt nghĩa là >; lt nghĩa là < )

Theo Viet ta có: $\dpi{100} \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=2(m+1) & \\ x_{1}.x_{2} =3& \end{matrix}\right.$ ( 0,25đ)

Theo giả thiết: $\dpi{100} \left | x_{1}-x_{2} \right |\leq 2$

<=> $\dpi{100} (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}\leq 4$ ( 0,25đ)

<=> $\dpi{100} m^{2}+2m-3\leq 0$ ( 0,25đ)

<=> -3 $\dpi{100} \leq$ m $\dpi{100} \leq$ 1 ( 0,25đ)

Kết hợp điều kiện trên ta có $\dpi{100} \left [ \begin{matrix} -3\leq m< -1-\sqrt{3}\\ -1+\sqrt{3}< m\leq 1\end{matrix}$ ( 0,5đ)

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Cực trị của hàm số - Có video chữa

Lớp 12 Toán học Lớp 12 - Toán học