Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD,\) đường cao \(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Diện tích thiết diện lớn nhất đạt được khi đáy tam giác trùng với đường chéo hình vuông

Giải chi tiết:

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều \(\Rightarrow \,\,SO\bot \left( ABCD \right)\)

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa \(SO,\) cắt đáy tại \(M,\,\,N\Rightarrow \,\,\Delta \,SMN\) đều.

Suy ra \(\left( SMN \right)\bot \left( ABCD \right)\) và \({{S}_{\Delta \,SMN}}=\frac{1}{2}.SO.MN=\frac{a\sqrt{3}}{2}.MN\)

Vì \({{\left\{ {{S}_{\Delta \,SMN}} \right\}}_{\max }}\Rightarrow MN\) lớn nhất \(\Leftrightarrow \)\(MN\,\,\equiv \,\,AC\)\(\Rightarrow \,\,{{S}_{ABCD}}=A{{C}^{2}}={{a}^{2}}.\)

Vậy thể tích khối chóp cần tìm là \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.\)

Chọn C