Hai ròng rọc có tâm O, O’ và bán kính R = 40cm, R’...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

AM và AP là hai tiếp tuyến chung xuất phát từ A đến đường tròn (O) và (O’) nên OA là tia phân giác của góc MAP và góc NAQ. Vì góc MAP = 60⁰ nên góc MAO = góc NAO’ = 30⁰. Xét tam giác vuông ANO’, ta có:

\(\sin NAO'=\frac{NO'}{AO'}\Rightarrow AO'=\frac{NO'}{\sin NAO'}=\frac{10}{\sin {{30}^{0}}}=20cm\)

Xét tam giác vuông ANO’, ta có:

\(\sin MAO=\frac{OM}{OA}\Rightarrow OA=\frac{OM}{\sin MAO}=\frac{40}{\sin {{30}^{0}}}=80cm\)

\(OO'=OA-O'A=80-20=60cm\) Từ O’ kẻ O’M’ // MN  \(\left( M'\in OM \right)\)mà \(MN\bot OM\)(MN là tiếp tuyến đường tròn (O))

\(\Rightarrow O'M'\bot OM\) (quan hệ vuông góc, song song)

Tứ giác MNO’M’ là hình chữ nhật ( vì có \(\overset{\hat{\ }}{\mathop{M}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{N}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{M}}\,'={{90}^{0}}\))

\(\Rightarrow M'O'=MN\) và \(MM'=O'N=10cm\)

\(OM'=OM-MM'=40-10=30cm\) Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông OM’O’ ta có:

\(M'O'=\sqrt{OO{{'}^{2}}-OM{{'}^{2}}}=\sqrt{{{60}^{2}}-{{30}^{2}}}=\sqrt{2700}=30\sqrt{3}cm\)

\(\Rightarrow MN=M'O'=30\sqrt{3}cm\)

Tứ giác ANO’Q có \(\overset{\hat{\ }}{\mathop{N}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{Q}}\,={{90}^{0}}{{;}^{{}}}\overset{\hat{\ }}{\mathop{A}}\,={{60}^{0}}\), suy ra:  góc NO’Q = 120⁰ (tổng các góc trong một tứ giác bằng 360⁰) Tứ giác MAPO có \(\overset{\hat{\ }}{\mathop{M}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{P}}\,={{90}^{0}}{{;}^{{}}}\overset{\hat{\ }}{\mathop{A}}\,={{60}^{0}}\), suy ra:  góc MOP = 120⁰ (tổng các góc trong một tứ giác bằng 360⁰) \(\Rightarrow \) số đo cung nhỏ MP bằng 120⁰Số đo cung lớn MmP là: \({{360}^{0}}-{{120}^{0}}={{240}^{0}}\) Độ dài cung nhỏ NQ là: \({{l}_{1}}=\frac{\pi .R'.120}{180}=\frac{20\pi }{3}cm\) Độ dài cung lớn MmP là: \({{l}_{1}}=\frac{\pi .R.240}{180}=\frac{160\pi }{3}cm\) Độ dài của dây cua –roa mắc qua hai ròng rọc là:

\(MN+PQ+{{l}_{1}}+{{l}_{2}}=2MN+{{l}_{1}}+{{l}_{2}}=2.30\sqrt{3}+\frac{20\pi }{3}+\frac{160\pi }{3}\approx 292,4cm\)

v Các em lưu ý: Vì \(AM=AP{{;}^{{}}}AN=AQ\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Rightarrow MN=PQ\)