Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình, đưa về khoảng cách từ chân đường cao và áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán khoảng cách 

Giải chi tiết:

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC\Rightarrow \,\,SO\bot \left( ABC \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\Rightarrow \,\,OM\bot BC,\) kẻ \(OH\bot SM\,\,\,\,\,\,\left( H\in SM \right).\)

Suy ra \(OH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow \,\,d\left( O;\left( SBC \right) \right)=OH.\)

Ta có : \(\frac{AM}{OM}=3\Rightarrow d\left( A,\ \left( SBC \right) \right)=3d\left( O;\ \left( SBC \right) \right)\Rightarrow \,\,d\left( A;\left( SBC \right) \right)=3\,\,\times \,\,OH.\)

Tam giác \(SBM\) vuông tại \(M,\) có \(SM=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}.\) Có : \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow OM=\frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\)

Tam giác \(SOM\) vuông tại \(M,\) có : \(SO=\sqrt{S{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{15}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{33}}{3}.\)

Khi đó \(\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{33}}{3} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}}=\frac{135}{11{{a}^{2}}}\Rightarrow \,\,OH=\frac{a\sqrt{165}}{45}.\)

Vậy khoảng cách cần tính là \(d\left( A;\left( SBC \right) \right)=3\,\,\times \,\,OH=\frac{a\sqrt{165}}{15}.\)

Chọn C