Cho tứ diện ABCD có \(\left( ACD \right)\bot \left...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( ABC \right);\left( ABD \right)\), tìm điều kiện của x để góc đó bằng \({{90}^{0}}\).

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của AB ta có :

Tam giác ABC cân tại C \(\Rightarrow CM\bot AB\)

Tam giác ABD cân tại D \(\Rightarrow DM\bot AB\)

\(\left\{ \begin{align}\left( ABC \right)\cap \left( ABD \right)=AB \\\left( ABC \right)\supset CM\bot AB \\\left( ABD \right)\supset DM\bot AB \\\end{align} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( ABC \right);\left( ABD \right) \right)}=\widehat{\left( CM;DM \right)}\)

Để \(\left( ABC \right)\bot \left( ABD \right)\Rightarrow \widehat{\left( CM;DM \right)}={{90}^{0}}\Rightarrow CM\bot DM\Rightarrow \Delta CDM\)vuông tại M.

Gọi N là trung điểm của CD, chứng minh tương tự như trên ta có:

\(\widehat{\left( \left( ACD \right);\left( BCD \right) \right)}=\widehat{\left( AN;BN \right)}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{ANB}={{90}^{0}}\)

Xét tam giác vuông ANC có: \(AN=\sqrt{A{{C}^{2}}-C{{N}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=BN\)

\(\Rightarrow A{{B}^{2}}=A{{N}^{2}}+B{{N}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)=2{{a}^{2}}-2{{x}^{2}}\Rightarrow A{{M}^{2}}=\frac{A{{B}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}}{2}-\frac{{{x}^{2}}}{2}\)

Xét tam giác vuông ACM có: \(M{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{M}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{2}}}{2}=M{{D}^{2}}\)

Để \(\Delta CDM\) vuông tại M \(\Rightarrow M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=C{{D}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}=3{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Chọn A.