Phương trình \(4{\tan ^2}x - 5\tan x + 1 = 0\) có...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Giải phương trình \(4{\tan ^2}x - 5\tan x + 1 = 0\)

- Kết hợp điều kiện \(x \in \left( {\frac{{ - 2017\pi }}{2};\frac{{2017\pi }}{2}} \right)\)

- Đếm số nghiệm.

Giải chi tiết:

Ta có: \(4{\tan ^2}x - 5\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan \,x = 1\\\tan \,x = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = arc\tan \frac{1}{4} + k\pi \end{array} \right.,k \in Z\)

+) \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\)

\(\begin{array}{l}x \in \left( {\frac{{ - 2017\pi }}{2};\frac{{2017\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{ - 2017\pi }}{2} \le \frac{\pi }{4} + k\pi  \le \frac{{2017\pi }}{2} \Leftrightarrow  - 1008,75 \le k \le 1008,25\,\,\\ \Rightarrow k \in \left\{ { - 1008; - 1007;...;1008} \right\}\end{array}\)

Có tất cả \(1008 - \left( { - 1008} \right) + 1 = 2017\) giá trị của k thỏa mãn

\( \Rightarrow \)Phương trình có 2017 nghiệm.

+) \(x = arc\tan \frac{1}{4} + k\pi ,k \in Z\)

\(x \in \left( {\frac{{ - 2017\pi }}{2};\frac{{2017\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{ - 2017\pi }}{2} \le arc\tan \frac{1}{4} + k\pi  \le \frac{{2017\pi }}{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 2017}}{2} - \frac{1}{\pi }arc\tan \frac{1}{4} \le k \le \frac{{2017}}{2} - \frac{1}{\pi }arc\tan \frac{1}{4}\,\)

\( \Rightarrow k \in \left\{ { - 1012; - 1011;...;1004} \right\}\)

Có tất cả \(1004 - \left( { - 1012} \right) + 1 = 2017\) giá trị của k thỏa mãn

\( \Rightarrow \)Phương trình có 2017 nghiệm.

Kết luận: Phương trình đã cho có tất cả 4034 nghiệm \( \Rightarrow m = 4034\).

Chọn: C