Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tọa độ hóa bằng cách gắn hệ tọa độ Oxyz, áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gắn hệ tọa độ \(Oxyz,\) với \(A\left( 0;0;0 \right),\,\,S\left( 0;0;2 \right),\,\,D\left( 0;1;0 \right),\,\,B\left( 1;0;0 \right),\,\,C\left( 1;1;0 \right)\).

Tọa độ trung điểm \(M\) của \(SD\) là \(M\left( 0;\frac{1}{2};1 \right).\) Ta có \(\left[ \overrightarrow{SB};\overrightarrow{SC} \right]=\left( 2;0;1 \right)\) và \(\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -\,1;1;-\,\frac{1}{2} \right).\)

Do đó \(\cos \widehat{\left( AMC \right);\left( SBC \right)}=\frac{\left| {{{\vec{u}}}_{\left( AMC \right)}}.{{{\vec{u}}}_{\left( SBC \right)}} \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{\left( AMC \right)}} \right|.\left| .{{{\vec{u}}}_{\left( SBC \right)}} \right|}=\sqrt{5}\)\(\xrightarrow{{}}\,\,\tan \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.\)

Chọn D