Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là nửa lục gi...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Kẻ đường thẳng \(CE//BD\,\,\left( {E \in AD} \right)\). \(CE \cap AB = F \Rightarrow BD//\left( {SEF} \right)\). Khi đó:

\(d\left( {BD;SC} \right) = d\left( {BD,\left( {SCE} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SCE} \right)} \right).\)

Giải chi tiết:

Do ABCD là nửa lục giác đều và \(AD = 2a \Rightarrow AB = BC = CD = a\).

Kẻ đường thẳng \(CE//BD\,\,\left( {E \in AD} \right)\). \(CE \cap AB = F \Rightarrow BD//\left( {SEF} \right)\). Khi đó:

\(d\left( {BD;SC} \right) = d\left( {BD,\left( {SCE} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SCE} \right)} \right).\)

Ta có BCED là hình bình hành \(\begin{array}{l} \Rightarrow DE = BC = a \Rightarrow AE = 3a\\ \Rightarrow d\left( {D;\left( {SCE} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {SCE} \right)} \right).\end{array}\)

Ta có: \(\widehat {ABD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BD \bot AC \Rightarrow EF \bot AB\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EF \bot SA\\EF \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow EF \bot \left( {SAB} \right)\) Kẻ\(AH \bot SF\) tại H \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH \bot SF\\AH \bot EF\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SEF} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SEF} \right)} \right) = AH\)

Ta có: \(AF = \frac{3}{2}AB = \frac{{3a}}{2} = SA \Rightarrow \Delta SAF\) vuông tại A \( \Rightarrow AH = \frac{1}{2}SF = \frac{1}{2}\frac{{3a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).

Chọn A.