Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C (không...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Chứng minh khoảng cách từ O đến (ABC) không đổi. 

Giải chi tiết:

Kẻ \(OH\bot AB\,\,\left( H\in AB \right);\,\,OK\bot Ch\,\,\left( K\in CH \right)\) ta có

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot OH\\
AB \bot OC
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {OHC} \right) \Rightarrow AB \bot OK\\
\left\{ \begin{array}{l}
OK \bot AB\\
OK \bot CH
\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {ABC} \right)
\end{array}\)

Ta sẽ chứng minh OK không đổi, khi đó mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính OK.

Gọi \(A\left( a;0;0 \right);\,\,B\left( 0;b;0 \right);\,\,C\left( 0;0;c \right)\) ta có \({{V}_{ABC}}=\frac{1}{6}abc\). \(\begin{align} & \overrightarrow{AB}=\left( -a;b;0 \right);\,\,\overrightarrow{AC}=\left( -a;0;c \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( bc;ac;ab \right)\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}} \\ & \Rightarrow \frac{{{S}_{ABC}}}{{{V}_{OABC}}}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}{\frac{1}{6}abc}=\frac{3}{2} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}abc \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}} \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{4} \\ \end{align}\)

Xét tam giác vuông OCK có \(\frac{1}{O{{K}^{2}}}=\frac{1}{O{{C}^{2}}}+\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{C}^{2}}}+\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}=\frac{1}{4}\Rightarrow OK=2\)

Vậy mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính 2.

Chọn B.