Tìm các giá trị của m để phương trình \(\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(\cos x - \sin \,x = t,\,\,t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\). Biến đổi \(\sin \,2x = 2\sin \,x\cos x = 1 - {t^2}\). Xét phương trình với ẩn t.

Giải chi tiết:

Đặt \(\cos x - \sin \,x = t,\,\,t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\). Khi đó \(\sin \,2x = 2\sin \,x\cos x = 1 - {t^2}\). Phương trình đã cho trở thành:

                                           \(1 - {t^2} + 4t = m \Leftrightarrow  - {t^2} + 4t + 1 = m\)

Xét \(y = f\left( t \right) =  - {t^2} + 4t + 1,\,\,t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

Đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) =  - {t^2} + 4t + 1\) là parabol có đỉnh \(I\left( {2;1} \right)\)

Bảng biến thiên:

Do đó, \( - 1 - 4\sqrt 2  \le f\left( t \right) \le  - 1 + 4\sqrt 2 ,\,\,t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

 \( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 - 4\sqrt 2  \le m \le  - 1 + 4\sqrt 2 \).

Chọn: C