Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị các...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho hai hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\)và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\), \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\)và hai đường thẳng \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a;{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}b\)khi quay quanh trục Ox là: \(V=~\pi \int_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}(x)-{{g}^{2}}(x) \right|dx}\).

Giải chi tiết:

Giải phương trình : \(\dfrac{{{x^2}}}{2} = \sqrt {2x} ,\,\,\left( {x \ge 0} \right) \Leftrightarrow {x^4} = 8x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Thể tích cần tìm là:

\(V=~\pi \int_{0}^{2}{\left| \frac{{{x}^{4}}}{4}-2x \right|dx}=~\frac{\pi }{4}\int_{0}^{2}{\left| {{x}^{4}}-8x \right|dx}=~-\frac{\pi }{4}\int_{0}^{2}{\left( {{x}^{4}}-8x \right)dx}=-\frac{\pi }{4}\left. \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-4{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{2}=-\frac{\pi }{4}\left( \frac{32}{5}-16 \right)=\frac{12\pi }{5}\).

Chọn: D