Cho hai số phức

- Hướng dẫn giải

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $\frac{z_1}{z_2}$ là số thuần ảo nên ta viết lại $\frac{z_1}{z_2}=ki\iff z_1=ki{z}_2$.

Khi đó 

$$\begin{gathered} \left|z_1-z_2\right|=10\iff \left|ki{z}_2-z_2\right|=10\iff \left|z_2\left(-1+ki\right)\right|=10\iff \left|z_2\right|=\frac{10}{\left|-1+ki\right|}=\frac{10}{\sqrt{k^2+1}} \\ \Rightarrow \left|z_1\right|=\left|ki\right|.\left|z_2\right|=\left|k\right|.\frac{10}{\sqrt{k^2+1}}\Rightarrow \left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\frac{10\left|k\right|}{\sqrt{k^2+1}}+\frac{10}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{10\left(\left|k\right|+1\right)}{\sqrt{k^2+1}} \end{gathered}$$

Xét $y=f\left(t\right)=\frac{10\left(t+1\right)}{\sqrt{t^2+1}}\Rightarrow 10\left(t+1\right)=y\sqrt{t^2+1}\iff 100{\left(t+1\right)}^2=y^2\left(t^2+1\right)$

$\iff 100\left(t^2+2t+1\right)=y^2{t}^2+y^2\iff \left(y^2-100\right)t^2-200t+y^2-100=0$

Phương trình có nghiệm 

$\Delta \text{'}={100}^2-{\left(y^2-100\right)}^2=y^2\left(200-y^2\right)\ge 0\iff -10\sqrt{2}\le y\le 10\sqrt{2}$

Vậy $max y=10\sqrt{2}$ khi t = 1 hay $k=\pm 1$.