Một hình vuông

Câu hỏi: Một hình vuông $A B C D$ có cạnh $A B = a .$ , diện tích $S_{1} .$ Nối 4 trung điểm $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ theo thứ tự của 4 cạnh $A B, B C, C D, D A$ ta được một hình vuông thứ hai $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ có diện tích $S_{2}$ . Tiếp tục như vậy ta được hình vuông thứ 3 là có diện tích $S_{3}$ và cứ như thế ta được $S_{4}, S_{5}$ ,... Tính giá trị của $S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ... + S_{100}$

A. $\frac{2^{100} - 1}{2^{99} a^{2}}$

B. $\frac{a (2^{100} - 1)}{2^{99}}$

C. $\frac{a^{2} (2^{100} - 1)}{2^{99}}$

D. $\frac{a^{2} (2^{99} - 1)}{2^{99}}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Diện tích hình vuông $A B C D$ là $S_{1} = a^{2}$ ; diện tích hình vuông $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ là $S_{2} = {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Diện tích hình vuông $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ là ${(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{a^{2}}{4}; ...$

Diện tích hình vuông $A_{99} B_{99} C_{99} D_{99}$ là $S_{100} = \frac{a^{2}}{2^{99}}$

Vậy $S = a^{2} (\underset{T}{\underset{⏟}{\frac{1}{2^{0}} + \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{2^{99}}}})$

với T là tổng của CSN có $u_{1} = 1; q = \frac{1}{2}$ và $n = 100$

Do đó, tổng:

$S = a^{2} . \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 a^{2} (1 - \frac{1}{2^{100}}) = \frac{a^{2} (2^{100} - 1)}{2^{99}}$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

↑