Cho ba đường thẳng

- Hướng dẫn giải

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi hệ $\left\{\begin{array}{c}2x+3y=1\left(1\right)\\ x-y=2\left(2\right)\\ mx+(2m+1)y=2\left(3\right)\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất.

Xét hệ gồm hai phương trình (1) và (2) :

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=1 \left(1\right)\\ x-y=2 \left(2\right)\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}2x+3y=1\\ 2x-2y=4\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}2x+3y=1\\ 5y=-3\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{5}\\ y=\frac{-3}{5}\end{array}\right.\right.\right.\right.$

Hệ này có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{7}{5};-\frac{3}{5}\right)$.

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì $\left(\frac{7}{5};-\frac{3}{5}\right)$ cũng là nghiệm của phương trình (3), tức là

$$\begin{gathered} m.\frac{7}{5}+\left(2m+1\right).\frac{-3}{5}=2\iff 7m-3\left(2m+1\right)=10 \\ \iff 7m-6m-3=10\iff m=13 \end{gathered}$$ .