Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau:

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi phương trình đã cho về $2{\log }_5\left(x^2-2x-3\right)={\log }_2\left(x^2-2x-4\right)$và đặt ẩn phụ $t={\log }_5\left(x^2-2x-3\right)$ đưa về phương trình ẩn t.

Xét hàm $f\left(t\right)$và tìm nghiệm của $f\left(t\right)=0$ từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Cách giải:

Phương trình (1): ${\log }_{\sqrt{5}}\left(x^2-2x-3\right)=2{\log }_2\left(x^2-2x-4\right)$

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x-3>0\\ x^2-2x-4>0\end{array}\right.\iff x^2-2x-4>0$

Vì $x^2-2x-<x^2-2x-3,\forall x\in R$

$\left(1\right)\iff 2{\log }_5\left(x^2-2x-3\right)={\log }_2\left(x^2-2x-4\right)\left(*\right)$

Đặt $t={\log }_5\left(x^2-2x-3\right)$

$\Rightarrow x^2-2x-3=5^t\Rightarrow x^2-2x-4=5^t-1>0\iff t>0$

Phương trình (*) trở thành:

$2t={\log }_2\left(5^t-1\right)\iff 5^t-4^t-1=0$

Xét hàm số $y\left(t\right)=5^t-4^t-1$ trên $\left(0;+\infty \right)$

Có $y\text{'}\left(t\right)=5^t\ln 5-4^t\ln 4$

Vì $5^t>4^t,\forall t\in \left[0;+\infty \right);\ln 5>\ln 4$ nên $y\left(t\right)=5^t\ln -4^t\ln >0,\forall t\in \left(0;+\infty \right)$

$\Rightarrow f\left(t\right)$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

Bảng biến thiên:

Mà $f\left(t\right)=0\Rightarrow t=1$ là nghiệm duy nhất phương trình $f\left(t\right)=0$

Với $t=1\Rightarrow {\log }_5\left(x^2-2x-3\right)=1$

$\iff x^2-2x-3=5\iff x^2-2x-8=0$

Theo định lý vi – et ta có tổng hai nghiệm phương trình (1) là: $x_1+x_2=2.$

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.