Cho số phức \(z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi $z$ rồi lập luận dựa vào tính chất ${i^2} =  - 1$ của số phức.

Kết hợp điều kiện đề bài để tìm số các giá trị của $m.$

Giải chi tiết:

Ta có $z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} \right)^m} = {\left( {\frac{{\left( {2 + 6i} \right)\left( {3 + i} \right)}}{{\left( {3 - i} \right)\left( {3 + i} \right)}}} \right)^m} = {\left( {2i} \right)^m} = {2^m}.{i^m}$

+ Với $m = 4k\left( {k \in Z} \right)$  thì $z = {2^m}$

+ Với $m = 4k + 2\left( {k \in Z} \right)$ thì $z =  - {2^m}$

+ Với $m = 4k + 1\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$  thì $z = {2^m}.i$

+ Với $m = 4k + 3\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$  thì $z =  - {2^m}.i$

Vậy để $z$ là số thuần ảo thì $\left[ \begin{array}{l}m = 4k + 1\\m = 4k + 3\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$  mà $1 \le m \le 50$

Nên $\left[ \begin{array}{l}1 \le 4k + 1 \le 50\\1 \le 4k + 3 \le 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le 4k \le 49\\ - 2 \le 4k \le 47\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le k \le 12,25\\ - 0,5 \le k \le 11,75\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k \in \left\{ {0;1;2;3;...;12} \right\}\\k \in \left\{ {0;1;2;...;11} \right\}\end{array} \right.$

Vậy có tất cả $13 + 12 = 25$ giá trị của $k$ thỏa mãn điều kiện hay cũng có $25$ giá trị của $m$ thỏa mãn điều kiện đề bà.

Chọn A.