Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(I = AC \cap HK\), chứng minh \(AI \bot \left( {SHK} \right)\), từ đó xác định góc giữa \(SA\) và \(\left( {SHK} \right)\).

+) Sử dụng công thức \(\sin  = \frac{{doi}}{{huyen}}\).

Giải chi tiết:

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(I = AC \cap HK\)

Do ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BD\).

Mà \(HK//BD\) (HK là đường trung bình của tam giác \(ABD\))

\( \Rightarrow AC \bot HK \Rightarrow AI \bot HK\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot HK\\AI \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow SI\) là hình chiếu của \(SA\) lên \(\left( {SHK} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {SHK} \right)} \right) = \angle \left( {SA;SI} \right) = \angle ISA\).

Gọi \(O = AC \cap BD\), áp dụng định lí Ta-lét ta có : \(\frac{{AI}}{{OA}} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AI = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{4}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Tam giác SIA vuông tại I \( \Rightarrow \sin \angle ISA = \frac{{AI}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy \(\sin \angle \left( {SA;\left( {SHK} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Chọn B.