Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển của nhị thức: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.} \)

Giải chi tiết:

Ta có: \({\left( {\sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5}} \right)^{2019}} = {\sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)}^{2019 - k}}\left( {\sqrt[5]{5}} \right)} ^k} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{3^{\frac{{2019 - k}}{3}}}{5^{\frac{k}{5}}}.} \)

Số hạng là số nguyên trong khai triển \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{k}{5} \in Z\\\frac{{2019 - k}}{3} \in Z\\0 \le k \le 2019\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow k\,\, \vdots \,\,5,\,\,\left( {2019 - k} \right)\,\, \vdots \,\,3\). Mà \(2019\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow k\,\, \vdots \,\,3\).

Mà \(\left( {3;5} \right) = 1 \Rightarrow k\,\, \vdots \,\,15 \Rightarrow k = 15m\,\,\left( {m \in Z} \right)\)

Mà \(0 \le k \le 2019 \Leftrightarrow 0 \le 15m \le 2019 \Leftrightarrow 0 \le m \le 134,6 \Leftrightarrow \)  Có 134 số nguyên k thỏa mãn.

Vậy khai triển trên có 134 số hạng là số nguyên.

Chọn B.