Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là giao của đường trung trực 1 cạnh bên và chiều cao của hình chóp.

Từ đó sử dụng tam giác đồng dạng để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều.

Giải chi tiết:

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) và \(E\) là trung điểm \(SB.\)

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Trong \(\left( {SBO} \right)\) kẻ đường trung trực của \(SB\) cắt \(SO\) tại \(I\), khi đó \(IA = IB = IC = ID = IS\)  nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) và bán kính mặt cầu là \(R = IS.\)

Ta có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a \Rightarrow BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}}  = 2a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \frac{{BD}}{2} = a\sqrt 2 .\)

Ta có \(SA = SB = SC = SD = 2a\) (vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều) nên \(SE = EB = \frac{{2a}}{2} = a\)

Xét tam giác \(SBO\) vuông tại \(O\) (vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OB\)) có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}}  = \sqrt {4{a^2} - 2{a^2}}  = a\sqrt 2 .\)

Ta có \(\Delta SEI\) đồng dạng với tam giác \(SOB\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{{SE}}{{SO}} \Leftrightarrow IS = \frac{{SB.SE}}{{SO}} = \frac{{2a.a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 a.\)

Vậy bán kính \(R = a\sqrt 2 .\)

Chọn C.