Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tính \(y'\).

- Tìm \(m\) để \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Giải chi tiết:

Ta có \(y' = 6{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 6m\left( {m + 1} \right) = 6.\left[ {{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m\left( {m + 1} \right)} \right]\).

Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m\left( {m + 1} \right) = 0\) có \(\Delta  = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 1} \right) = 1 > 0,{\rm{ }}\forall m \in \mathbb{R}.\)

Suy ra phương trình \(y' = 0\) luôn có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{2m + 1 - 1}}{2} = m;{x_2} = \frac{{2m + 1 + 1}}{2} = m + 1\)

Dễ thấy \({x_1} = m < m + 1 = {x_2}\)  và \(a = 1 > 0\) trong khoảng \(\left( {m + 1; + \infty } \right)\) và \(\left( { - \infty ;m} \right)\) thì hàm số đồng biến.

Bài toán thỏa \( \Leftrightarrow m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1\)

Do \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left( { - 1000;1000} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 999; - 998;...;0;1} \right\}\).

Vậy có \(\left[ {1 - \left( { - 999} \right)} \right]:1 + 1 = 1001\) giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn B.