Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ ...

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ thuộc khoảng $\left( { - 1000;1000} \right)$ để hàm số $y = 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right)x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ ?

$999.$

$1001.$

$1998.$

$1000.$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tính $y'$ .

- Tìm $m$ để $y' \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$ .

Giải chi tiết:

Ta có $y' = 6{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 6m\left( {m + 1} \right) = 6.\left[ {{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m\left( {m + 1} \right)} \right]$ .

Xét phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m\left( {m + 1} \right) = 0$ có $\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 1} \right) = 1 > 0,{\rm{ }}\forall m \in \mathbb{R}.$

Suy ra phương trình $y' = 0$ luôn có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{2m + 1 - 1}}{2} = m;{x_2} = \frac{{2m + 1 + 1}}{2} = m + 1$

Dễ thấy ${x_1} = m < m + 1 = {x_2}$ và $a = 1 > 0$ trong khoảng $\left( {m + 1; + \infty } \right)$ và $\left( { - \infty ;m} \right)$ thì hàm số đồng biến.