Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right) \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

+) Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \( \Leftrightarrow m \ge f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right)\) .

+) Lập BBT hàm số \(y = f\left( x \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết:

\(y = \ln \left( {16{x^2} + 1} \right) - \left( {m + 1} \right)x + m + 2 \Rightarrow y' = \dfrac{{32x}}{{16{x^2} + 1}} - m - 1\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right) \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \dfrac{{32x}}{{16{x^2} + 1}} - m - 1 \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)  

\( \Leftrightarrow m + 1 \ge \dfrac{{32x}}{{16{x^2} + 1}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m + 1 \ge \mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{{32\left( {16{x^2} + 1} \right) - 32x.32x}}{{{{\left( {16{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 512{x^2} + 32}}{{{{\left( {16{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{1}{4}\).

BBT:

Dựa vào BBT ta có \(\mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) = 4 \Rightarrow m + 1 \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 3\).

Vậy \(m \in \left[ {3; + \infty } \right).\)

Chọn C.