Tìm \(m\) để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm.

+) Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

+) Áp dụng định lý Vi-et ta có biểu thức của tổng và tích hai nghiệm thay vào biểu thức đề bài cho tìm m.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

        \({x^2} = (2m + 1)x - 2m \Leftrightarrow {x^2} - (2m + 1)x + 2m = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow {(2m + 1)^2} - 8m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - 8m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 > 0 \Leftrightarrow {(2m - 1)^2} > 0\\ \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}.\end{array}\)

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\)  là hai nghiệm của phương trình (*). Áp dụng định lý Vi-et ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 1}\\{{x_1}{x_2} = 2m}\end{array}} \right.\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = (2m + 1){x_1} - 2m\\{y_2} = (2m + 1){x_2} - 2m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có :

 \(\begin{array}{l}{y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2} = 1 \Leftrightarrow (2m + 1){x_1} - 2m + (2m - 1){x_2} - 2m - 2m = 1\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow (2m + 1)(2m + 1) - 6m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - 6m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0\,\,\,\,(tm)}\\{m = \frac{1}{2}\,\,\,(ktm)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 0\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn A.