Tam giác \(ABC\) có \(AB = 3,BC = 8.\) Gọi \(M\) l...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí cosin vào tam giác \(AMB\)để tính cạnh \(AM\) . Sau đó, ta sử dụng định lí cosin vào tam giác \(AMC\) để tính cạnh \(AC.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC \Rightarrow BM = \frac{{BC}}{2} = 4\)

Xét \(\Delta ABM\):

 \(\begin{array}{l}{\rm{cos}}\angle AMB = \frac{{A{M^2} + B{M^2} - A{B^2}}}{{2.AM.BM}}\\ \Leftrightarrow A{M^2} - 2.AM.BM.cos\angle AMB + B{M^2} - A{B^2} = 0\\ \Leftrightarrow A{M^2} - \frac{{20\sqrt {13} }}{{13}}AM + 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = \sqrt {13}  > 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\\{AM = \frac{{7\sqrt {13} }}{{13}} < 3\,\,\,\,\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow AM = \sqrt {13} \end{array}\)

Ta có: \(\angle AMB\) và \(\angle AMC\) là hai góc kề bù \( \Rightarrow \cos \angle AMC =  - \cos \angle AMB =  - \frac{{5\sqrt {13} }}{{26}}\)

Trong tam giác \(AMC,\) ta có: \(A{C^2} = A{M^2} + C{M^2} - 2.AM.CM.cos\angle AMC = 13 + 16 - 2.\sqrt {13} .4.\left( { - \frac{{5\sqrt {13} }}{{26}}} \right) = 49 \Rightarrow AC = 7\)

Chọn  C.