Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bài toán là hệ phương trình đối xứng loại 2

Bước 1: Trừ vế cho vế của hai phương trình, rút gọn.

Bước 2: Đưa phương trình vừa thu được về dạng có chứa nhân tử \(\left( {x - y} \right)k\left( {x;y} \right) = 0\)

Bước 3: Giải phương trình tích \(\left( {x - y} \right)k\left( {x;y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\k\left( {x;y} \right) = 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết:

Lấy (*) trừ (**) vế với vế ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - {y^3} =  - 5x + 5y\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right) + 5\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}y} \right)}^2} + \frac{3}{4}{y^2} + 5} \right] = 0\,\,\,\,\left( {***} \right)\end{array}\)

Do \({\left( {x + \frac{1}{2}y} \right)^2} + \frac{3}{4}{y^2} + 5 > 0\,\,\forall x,y\) nên (***) \( \Leftrightarrow x - y = 0 \Leftrightarrow x = y\)

Thay vào (*) ta được: \({x^3} = 3x + 8x \Leftrightarrow {x^3} - 11x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt {11} \\x =  - \sqrt {11} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = \sqrt {11} \\x = y =  - \sqrt {11} \end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình ban đầu có 3 nghiệm \(\left( {0;0} \right);\,\,\left( {\sqrt {11} ;\sqrt {11} } \right);\,\,\left( { - \sqrt {11} ; - \sqrt {11} } \right)\)

Chọn D.