Phương trình \({{3.2}^{x}}+{{4.3}^{x}}+{{5.4}^{x}}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, đánh giá số nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết:

\({{3.2}^{x}}+{{4.3}^{x}}+{{5.4}^{x}}={{6.5}^{x}}\Leftrightarrow 3.{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+4.{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+5.{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}=6\Leftrightarrow 3.{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+4.{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+5.{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}-6=0\) (*)

Hàm số \(y=f(x)=3.{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+4.{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+5.{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}-6\) nghịch biến trên\(R\Rightarrow f(x)=0\) có nhiều nhất 1 nghiệm trên R(1)

Ta có: \(f(0)=6,\,\,\,f(2)=-\frac{22}{25}\Rightarrow f(0).f(2)<0\Rightarrow f(x)=0\) có ít nhất 1 nghiệm \(x\in \left( 0;2 \right)\)  (2)

Từ (1), (2) suy ra: phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm thực.

Chọn: D